A Little's Law, O Kanban e os Sistemas Complexos

Já venho discutindo e analisando esse assunto a pelo menos dois meses. Quando eu me detive um pouco mais para entender a Lei de Little percebi pelo menos duas coisas: é perigoso nos basearmos tanto em algo que foi provado por negação - não ser verificado nenhum caso onde a lei não se aplica; e sua adoção em sistemas complexos e, consequentemente, para justificar algumas práticas do Kanban, é questionável. Pelo menos eu estou questionando.

Vou tentar ser o menos chato possível.

Quero deixar claro que não tenho dúvidas de que restringindo o WiP reduzimos o lead time. Só tenho dúvidas se de fato a Lei de Little seja a base disso. Vejo muito mais o Supply Chain Management, um dos princípios por trás da ToC, como base teórica que sustenta a maioria das práticas do Kanban.

No seu livro, o David Anderson disse que a relação Lead Time = WiP / Throughput é conhecida na manufatura como Lei de Little. Na Web encontramos alguns textos que apenas endossam o que o Anderson disse, mas que não apontam nenhum estudo interessante para demonstrar esta variação da fórmula.

Não vejo uma relação direta da Lei de Little com a sua variação proposta pelo Anderson. Não vejo associação do throughput a nada que foi formulado na lei original, vejamos:

Associar diretamente throughput à média de entrada no sistema me parece um erro.

Little's Law:
average customers on system = average customers arrival rate X average time a customer spend on the system

Isolating "average time a customer spend on system":
average time a customer spend on the system = average customers on system / average customer arrival rate

Changing customer by demand
average time a demand spend on the system = average demands on system / average demands arrival rate

average time a demand spend on the system = average lead time = ALT (considering customer-to-customer delivery)

average demands on system = WiP

então,

ALT = WiP / average demand arrival rate

Throughput:
No Lean - Time to transform raw materials in the final product.
Na ToC - Throughput can be best described as the rate at which a system generates its products / services per unit of time.
No Kanban - On the Anderson's book, the same we can see in ToC.

Portanto, pelas definições, não vejo como relacionar diretamente "throughput" com "average demand arrival rate". Vamos ver o motivo.

Ainda está comigo? Então vamos lá.

Sob a perspectiva da teoria das filas, apesar de ambos serem taxas (não sob a ótica do Lean), throughput é algo bem diferente de "arrival rate". Pensando em uma mangueira d'água: o throughput (sob a ótica da ToC e do Kanban) é a quantidade de água que sai da mangueira em dado tempo (vamos dizer, 5 litros/minuto). Arrival rate é a quantidade de água que a torneira joga na mangueira. Throughput é a capacidade de vazão, enquanto a taxa de entrada é, na verdade, a taxa de entrada. Em uma mangueira, sistemas simples, com variabilidade quase zero, podemos considerar throughput == arrival rate.

Ficou claro para mim que Little, em momento algum, pensou na taxa da capacidade de saída do sistema. Em que momento isso foi pensado? Por quem? No livro do Anderson ele, em uma pagina bem próxima de onde se refere à Lei de Little, diz que (no momento em que o livro estava sendo escrito), ainda não existia nenhuma prova científica do que ele observara empiricamente: redução do WiP == redução do lead time.

Apesar de ter apenas uma sentença no livro remetendo o cálculo à Lei de Little, vejo diversas outras fontes fazendo a mesma referência, mas sem mostrar o motivo.

Percebam que meu problema aqui é a diferença clara que eu vejo entre as taxas throughput e arrival rate e a importância que notei desta diferença sob a perspectiva da teoria das filas.

Em conversa com o Klaus Wuestefeld, ele me disse que o limite do WiP garantiria throughput == arrival rate.

Isso seria verdade se não estivéssemos falando de sistemas complexos. A variabilidade e imprevisibilidade da relação entre as partes que interoperam por um objetivo comum devem ser consideradas.

O replenishment pode variar. Gargalos no sistema "seguram" nosso throughput. Admitir que arrival rate == thoroughput é admitir que eliminamos toda a variabilidade do sistema, trabalhando 100% do tempo colados no limite do nosso WiP e com uma taxa de replenishment perfeita, isto é, saiu um work item entrou um work item. Estranhamente, para atender uma lei, deixamos de estar inseridos em um contexto complexo e passamos para um contexto simples. O princípio de que o gargalo se movimenta no sistema, da teoria das restrições, não faz mais sentido. De fato, todos os gargalos foram eliminados. Será verdade?

A Lei de Little foi provada por negação (não existir nenhum caso que não se submetesse a lei) depois de quase 10 anos [1]. Dessa forma, é muito difícil (quiçá impossível) matematicamente estabelecer uma prova da relação entre arrival rate X average time in system X qtd total no sistema. Mesmo com average arrival rate sendo uma taxa mais estável que throughput. Mais estável por não depender da variabilidade do sistema.

[1] Little, J. D. C.; Graves, S. C. (2008). "Little's Law". Building Intuition. International Series in Operations Research & Management Science 115. p. 81.